後漢書志第三

律曆下

曆法

昔者聖人之作曆也，觀琁璣之運，三光之行，道之發斂，景之長短，斗綱（之）〔所〕建，青龍所躔，參伍以變，錯綜其數，而制術焉。

天之動也，一晝一夜而運過周，星從天而西，日違天而東。日之所行與運周，在天成度，在曆成日。居以列宿，終于四七，受以甲乙，終于六旬。日月相推，日舒月速，當其同〔所〕，謂之合朔。舒先速後，近一遠三，謂之弦。相與爲衡，分天之中，謂之望。以速及舒，光盡體伏，謂之晦。晦朔合離，斗建移辰，謂之〔月〕。日月之（術）〔行〕，則有冬有夏；冬夏之閒，則有春有秋。是故日行北陸謂之冬，西陸謂之春，南陸謂之夏，東陸謂之秋。日道發南，去極彌遠，其景彌長，遠長乃極，冬乃至焉。日道斂北，去極彌近，其景彌短，近短乃極，夏乃至焉。二至之中，道齊景正，春秋分焉。

日周于天，一寒一暑，四時備成，萬物畢改，攝提遷次，青龍移辰，謂之歲。歲首至也，月首朔也。至朔同日謂之章，同在日首謂之蔀，蔀終六旬謂之紀，歲朔又復謂之元。是故日以實之，月以閏之，時以分之，歲以周之，章以明之，蔀以部之，紀以記之，元以原之。然後雖有變化萬殊，贏朒無方，莫不結系于此而禀正焉。

極建其中，道營于外，琁衡追日，以察〔發〕斂，光道生焉。孔壺爲漏，浮箭爲刻，下漏數刻，以考中星，昬明生焉。日有光道，月有九行，九行出入而交生焉。朔會望衡，鄰於所交，虧薄生焉。月有晦朔，星有合見，月有弦望，星有留逆，其歸一也，步術生焉。金、水承陽，先後日下，速則先日，遟而後留，留而後逆，逆與日違，違而後速，速與日競，競又先日，遟速順逆，晨夕生焉。日、月、五緯各有終原，而七元生焉。見伏有日，留行有度，而率數生焉。參差齊之，多少均之，會終生焉。引而伸之，觸而長之，探賾索隱，鉤深致遠，無幽辟潛伏，而不以其精者然。故陰陽有分，寒暑有節，天地貞觀，日月貞明。

若夫祐術開業，淳燿天光，重黎其上也。【顓頊曰重黎。】承聖帝之命若昊天，典曆象三辰，以授民事，立閏定時，以成歲功，羲和其隆也。【唐、虞、夏、商曰羲和。】取象金火，革命創制，治曆明時，應天順民，湯、武其盛也。【月令章句曰：「帝舜叶時月正日，湯、武革命，治曆明時。言承平者叶之，承亂者革之。」】及王德之衰也，無道之君亂之於上，頑愚之史失之於下。夏后之時，羲和淫湎，廢時亂日，胤乃征之。紂作淫虐，喪其甲子，武王誅之。夫能貞而明之者，其興也勃焉；回而敗之者，其亡也忽焉。巍巍乎若道天地之綱紀，帝王之壯事，是以聖人寶焉，君子勤之。

夫曆有聖人之德六焉：以本氣者尚其體，以綜數者尚其文，以考類者尚其象，以作事者尚其時，以占往者尚其源，以知來者尚其流。大業載之，吉凶生焉，是以君子將有興焉，咨焉而以從事，受命而莫之違也。若夫用天因地，揆時施教，頒諸明堂，以爲民極者，莫大乎月令。帝王之大司備矣，天下之能事畢矣。過此而往，羣忌苟禁，君子未之或知也。

斗之二十一度，去極至遠也，日在焉而冬至，羣物於是乎生。故律首黃鍾，曆始冬至，月先建子，時平夜半。當漢高皇帝受命四十有五歲，陽在上章，陰在執徐，冬十有一月甲子夜半朔旦冬至，日月閏積之數皆自此始，立元正朔，謂之漢曆。又上兩元，而月食五星之元，並發端焉。

曆數之生也，乃立儀、表，以校日景。景長則日遠，天度之端也。日發其端，周而爲歲，然其景不復，四周千四百六十一日，而景復初，是則日行之終。以周除日，得三百六十五四分度之一，爲歲之日數。日日行一度，亦爲天度。察日月俱發度端，【即是起舍合朔。】日行十九周，月行二百五十四周，復會于端，是則月行之終也。以日周除月周，得一歲周天之數。以日一周減之，餘十二十九分之七，則月行過周及日行之數也，爲一歲之月。以除一歲日，爲一月之數。月之餘分積滿其法，得一月，月成則其歲〔大〕。月（大）四時推移，故置十二中以定月位。有朔而無中者爲閏月。中之始（日）〔曰〕節，與中爲二十四氣。以除一歲日，爲一氣之日數也。其分積而成日爲沒，并歲氣之分，如法爲一歲沒。沒分于終中，中終于冬至，冬至之分積如其法得一日，四歲而終。月分成閏，閏七而盡，其歲十九，名之曰章。章首分盡，四之俱終，名之曰蔀。以一歲日乘之，爲蔀之日數也。以甲子命之，二十而復其初，是以二十蔀爲紀。紀歲青龍未終，三終歲後復青龍爲元。

元法，四千五百六十。【樂叶圖徵曰：「天元以甲子朔旦冬至，日月起於牽牛之初，右行二十八宿，以考王者終始。或盡一，其曆數或不能盡一，以四千五百六十爲紀，甲寅窮。」宋均曰：「紀即元也。四千五百六十者，五行相代，一終之大數也。王者即位，或遇其統，或不盡其數，故一（共）〔元〕以四千五百六十爲甲寅之終也。王者起，必易元，故不復沿前而終言之也。」韓子曰：「四千五百六十歲爲一元，元中有厄，故聖人有九歲之畜以備之也。」】

紀法，千五百二十。【月令章句曰：「紀，還復故曆。」】

紀月，萬八千八百。

蔀法，七十六。【月令章句曰：「七十六歲爲蔀首。」】

蔀月，九百四十。

章法，十九。

章月，二百三十五。【月令章句曰：「十九歲七閏月爲一章。」】

周天，千四百六十一。

日法，四。

蔀日，二萬七千七百五十九。

沒數，二十一。（爲章閏）

通法，四百八十七。

沒法，七，因爲章閏。

日餘，百六十八。

中法，（四）〔三〕十二。

大周，三十四萬三千三百三十五。

月周千一十六。

月食數之生也，乃記月食之既者。率二十三食而復既，其月（食）百三十五，率之相除，得五（百）〔月〕二十三之二十而一食。以除一歲之月，得歲有再食五百一十三分之五十〔五〕也。分終其法，因以與蔀相約，得四與二十七，互之，會二千五十二，二十而與元會。

元會，四萬一千四十。

蔀會，（三）〔二〕千五十（三）〔二〕。

歲數，五百一十三。

食數，千八十一。

月數，百（二）〔三〕十五。

食法，二十（二）〔三〕。

推入蔀術曰：以元法除去上元，其餘以紀法除之，所得數從天紀，筭外則所入紀也。不滿紀法者，入紀年數也。以蔀法除之，所得數從甲子蔀起，筭外，所入紀歲名命之，筭上，即所求年太歲所在。

推月食所入蔀會年，以元會除去上元，其餘以蔀會除之，所得以（七）〔二〕十（二）〔七〕乘之，滿六十除去之，餘以二十除所得數，從天紀，筭（之起）外，所（以）入紀，不滿二十者，數從甲子蔀起，筭外，所入蔀會也。其初不滿蔀會者，入蔀會年數也，各以（不）〔所〕入紀歲名命之，筭上，即所求年（蔀）〔太歲所在〕。

推天正術，置入蔀年減一，以章月乘之，滿章法得一，名爲積月，不滿爲閏餘，十二以上，其歲有閏。

推天正朔日，置入蔀積月，以蔀日乘之，滿蔀月得一，名爲積日，不滿爲小餘，積日以六十除去之，其餘爲大餘，以所入蔀名命之，筭盡之外，則前年天正十一月朔日也。小餘四百四十一以上，其月大。求後月朔，加大餘二十九，小餘四百九十〔九〕，小餘滿蔀月得一，上加大餘，命之如前。

一術，以大周乘年，周天乘〔閏餘〕減之，餘滿蔀（日）〔月〕，則天正朔日也。

推二十四氣術曰：置入蔀年減一，以（月）〔日〕餘乘之，滿中法得一，名曰大餘，不滿爲小餘，大餘滿六十除去之，其餘以蔀名命之，筭盡之外，則前年冬至之日也。

求次氣，加大餘十五，小餘七，除命之如前，小寒日也。

推閏月所在，以閏餘減章法，餘以十二乘之，滿章閏數得一，滿四以上亦得一筭之數，從前年十一月起，筭盡之外，閏月也。或進退，以中氣定之。

推弦、望日，因其月朔大小餘之數，皆加大餘七，小餘三百五十九四分三，小餘滿蔀月得一，加大餘，大餘命如法，得上弦。又加得望，次下弦，又後月朔。其弦、望小餘二百六十以下，每以百刻乘之，滿蔀月得一刻，不滿其（數）〔所〕近節氣夜漏之半者，以筭上爲日。

推沒滅術，置入蔀年減一，以沒數乘之，滿日法得一，名爲積沒，不盡爲沒餘。以通法乘積沒，滿沒法得一，名爲大餘，不盡爲小餘。大餘滿六十除去之，其餘以蔀名命之，筭盡之外，前年冬至前沒日也。求後沒，加大餘六十九，小餘四，小餘滿沒法，從大餘，命之如前，無分爲滅。

一術，以（爲）〔十〕五乘冬至小餘，以減通法，餘滿沒法得一，則天正後沒也。

推合朔所在度，置入蔀積（月）〔日〕以（日）〔蔀月〕乘之，滿大周除去之，其餘滿蔀月得一，名爲積度，不盡爲餘分。積度加斗二十一度，加二百三十五分，以宿次除之，不滿宿，則日月合朔所在星度也。求後合朔，加度二十九，加分四百九十九，分滿蔀月得一度，經斗除二百三十五分。

一術，以閏餘乘周天，以減大周餘，滿蔀月得一，合以斗二十一度四分一，則天正合朔日月所在度。

推日所在度，置入蔀積日之數，以蔀法乘之，滿蔀日除去之，其餘滿蔀法得一，爲積度，不盡爲餘分。積度加斗二十一度，加十九分，以宿次除去之，則夜半日所在宿度也。

求次日，加一度。求次月，大加三十度，小加二十九度，經斗除十〔九〕分。

一術，以朔小餘減合〔朔〕度分，即日夜半所在。其分（三）〔二〕百（二）〔三〕十五約之，十九乘之。

推月所在度，置入蔀積日之數，以月周乘之，滿蔀日除去之，其餘滿蔀法得一，爲積度，不盡爲餘分。積度加斗二十一十〔九〕分，除如上法，則所求之日夜半月所在宿度也。

求次日，加十三度二十八分。求次月，大加三十五度六十一分，月小二十二度三十三分，分滿法得一度，經斗除十九分。其冬下旬月在張、心署之，謂（盡）〔晝〕漏分後盡漏盡也。

一術，以蔀法除朔小餘，所得以減日半度也。餘以減分，即月夜半所在度也。

推日明所入度分術曰：置其月節氣夜漏之數，以蔀法乘之，二百除之，得一分，即夜半到明所行分也。以增夜半日所在度分，爲明所在度分也。

求昬日所入度，以夜半到明日所行分（分）減蔀法，其餘即夜半到昬所行分也。以加夜半所在度分，爲昬日所在度也。

推月明所入度分術曰：置其節氣夜（半）〔漏〕之數，以月周乘之，以二百除之，爲積分。積分滿蔀法得一，以增夜半度，即（明）月〔明〕所在度也。

求昬月所入度：以明積分減月周，其餘滿蔀法得一度，加夜半，則昬月所在度也。

推弦、望日所入星度術曰：置合朔度分之數，加七度三百五十九分四分（之）三，〔以〕宿次除之，即得上弦日所入宿度分也。

求望、下弦，加除如前法，小分〔滿〕四從大分，〔大分〕滿蔀月從度。

推弦、望月所入星度術曰：置月合朔度分之數，加度九十八，加分六百五十三半，以宿次除之，即上弦月所入宿度分也。

求望、下弦，加除如前分，滿蔀月從度。

推月食術曰：置入蔀會年數，減一，以食數乘之，滿歲數得一，名曰積食，不滿爲食餘。以月數乘積〔食〕，滿食法得一，名爲積月，不滿爲月餘分。積月以章月除去之，其餘爲入章月數。當先除入章閏，乃以十二除去之，不滿者命以十一月，筭盡之外，則前年十一月前食月也。求入章閏者，置入章月，以章閏乘之，滿章月得一，則入章閏數也。餘分滿二百二十四以上至二百三十一，爲食在閏月。閏或進退，以朔日定之。求後食，加五（百）〔月〕二十分，滿法得一月數，命之如法，其分盡食筭上。

推月食朔日術曰：置食積月之數，以二十九乘之，爲積日。又以四百九十〔九〕乘積月，滿蔀月得一，以并積日，以六十除之，其餘以所會蔀名命之，筭盡之外，則前年天正前食月朔日也。

求食日，加大餘十四，小餘七百一十九半，小餘滿蔀月爲大餘，大餘命如前，則食日也。

求後食朔及日，皆加大餘二十七，小餘六百一十五。其月餘分不滿二十者，又加大餘二十九，小餘四百九十九。其食小餘者，當以漏刻課之，夜漏未盡，以筭上爲日。

一術，以歲數去上元，餘以爲積月，以百一十二乘之，滿月數去之，餘滿食法得一，則天正後食。

推諸加時，以十二乘小餘，先減如法之半，得一時，其餘乃以法除之，所得筭之數從夜半子起，筭盡之外，則所加時也。

推諸上水漏刻：以百乘其小餘，滿其法得一刻；不滿法（法）什之，滿法得一分。積刻先減所入節氣夜漏之半，其餘爲晝上水之數。過晝漏去之，餘爲夜上水數。其刻不滿夜漏半者，乃減之，餘爲昨夜未（晝）〔盡〕，其弦望其日。

五星數之生也，各記於日，與周天度相約而爲率。以章法乘周率爲（用）〔月〕法，章月乘日率，如月法，爲積月月餘。以月之（月）〔日〕乘積〔月〕，爲朔大小餘。乘爲入月日餘。以日法乘周率爲日度法，以〔周〕率去日率，餘以乘周天，如日度法，爲〔積〕度（之）〔度〕餘也。日率相約取之，得二千九百九十萬一千六百二十一億五十八萬二千三百，而五星終，如蔀之數，與元通。

木，周率，四千三百二十七。　日率，四千七百二十五。　合積月，十三。　月餘，四萬一千六百六。　月法，八萬二千二百一十三。　大餘，二十三。　小餘，八百四十七。　虛分，九十三。　入月日，十五。　日餘，萬四千六百四十（七）〔一〕。　日度法，萬七千三百八。積度，三十三。　度餘，萬三百一十四。

火，周率，八百七十九。　日率，千八百七十六。　合積月，二十六。　月餘，六千六百三十四。　月法，萬六千七百一。　大餘，四十七。　小餘，七百五十四。　虛分，一百八十六。　入月日，十（一）〔二〕。　日餘，千八百七十二。　日度法，三千五百一十六。　積度，四十九。度餘，一百一十四。

土，周率，九千九十六。　日率，九千四百一十五。　合積月，十二。　月餘，十三萬八千六百三十七。　月法，十七萬二千八百二十四。　大餘，五十四。　小餘，三百四十八。虛分，五百九十二。　入月日，二十（三）〔四〕。　日餘，二千一百六十三。　日度法，三萬六千三百八十四。　積度，十二。　度餘，二萬九千四百五十一。

金，周率，五千八百三十。　日率，四千六百六十一。　合積月，九。　月餘，九萬八千四百五。　月法，十〔一〕萬七百七十。　大餘，二十五。　小餘，七百三十一。　虛分，二百九。入月日，二十六。　日餘，二百八十一。　日度法，二萬三千三百二十。　積度，二百九十二。　度餘，二百八十一。

水，周率，萬一千九百八。　日率，千八百八十九。　合積月，一。　月餘，二十一萬七千六百六十〔三〕。　月法，二十二萬六千二百五十二。　大餘，二十九。　小餘，四百九十九。　虛分，四百四十（九）〔一〕。　入月日，二十（七）〔八〕。　日餘，四萬四千八百五。日度法，四萬七千六百三十（一）〔二〕。　積度，五十七。　度餘四萬四千八百五。

推五星術，置上元以來，盡所求年，以周率乘之，滿日率得一，名爲積合；不盡名〔爲〕合餘。〔合〕餘以周率除之，不得焉退歲；無所得，星合其年，得一合前年，二合前二年。金、水積合奇爲晨，偶爲夕。其不滿周率者反減之，餘爲度分。

推星合月，以合積月乘積合爲小積，又以月餘乘積合，滿其月法得一，從小積〔爲積月，不盡〕爲月餘。積月滿紀月去之，餘爲入紀月。每以章閏乘之，滿章月得一爲閏；不盡爲閏餘。以閏減入紀月，其餘以十二去之，餘爲入歲月數，從天正十一月起，筭外，星合所在之月也。其閏〔餘〕滿二百二十四以上至二百三十一星合閏月。閏或進退，以朔制之。

推朔日，以蔀日乘（之）入紀月，滿蔀月得一爲積日，不盡爲小餘。積日滿六十去之，餘爲大餘，命以甲子，筭外，星合月朔日。

推入月日，以蔀日乘月餘，以其月法乘朔小餘，從之，以四千四百六十五約之，所得（得）滿日度法得一，爲入月日，不盡爲日餘。以朔命入月日，筭外，星合日也。

推合度，以周天乘度分，滿日度法得一爲積度，不盡爲度餘。以斗二十一四分之一命度，筭外，星合所在度也。

一術，加退歲一，以減上元，滿八十除去之，餘以沒數乘之，滿日法得一，爲大餘，不盡爲小餘。以甲子命大餘，則星合歲天正冬至日也。以周率〔乘〕小餘，并度餘，餘滿日度法從度，即（正）〔至〕後星合日數也，命以冬至。求後合月，加合積月於入歲月，加月餘於月餘，滿其月法得一，從入歲月。入歲月滿十二去之，有閏計焉，餘命如前，筭外，後合月也。（餘一）〔金、水〕加晨得夕，加夕得晨。

求朔日，以大小餘加今所得，其月餘得一月者，又〔加大〕餘二十九，〔小餘四百九十九，〕小飾滿蔀月得一，（如）〔加〕大餘，大餘命如前。

求入月日，以入月日〔日〕餘加今所得，餘滿日度法得一，從日。其前合月朔小餘（不）滿其虛分者，空加一日。日滿月先去二十九，其後合月朔小餘不滿四百九十九，又減一日，其餘命如前。

求合度，以積度度餘加今所得，餘滿日度法得一從度，命如前，經斗除如周率矣。

木，晨伏，十六日七千（二）〔三〕百二十分半，行二度萬三千八百一十一分，在日後十三度有奇，而見東方。見順，日行五十八分度之十一，五十八日行十一度，微遟，日行九分，五十八日行九度。留不行，二十五日。旋逆，日行七分度之一，八十四日（進）〔退〕十二度。復留，二十五日。復順，五十八日行九度，又五十八日行十一度，在日前十三度有奇，而夕伏西方。除伏逆，一見三百六十六日，行二十八度。伏復十六日七千（二）〔三〕百二十分半，行二度萬三千八百一十一分，而與日合。凡一終，三百九十八日有萬四千六百四十一分，行星三十（二）〔三〕度與萬三百一十四分，通率日行四千七百二十五分之三百九十八。

火，晨伏，七十一日二千六百九十四分，行五十五度二千二百五十四分半，在日後十六度有奇，而見東方。見順，日行二十三分度之十四，〔百〕八十四日行〔百〕一十二度。微遟，日行十二分，九十二日行四十八度。留不行，十一日。旋逆，日行六十二分度之十七，六十二日退十七度。復留，十一日。復順，九十二日，行四十八度，又百八十四日行百一十二度，在日前十六度有奇，而夕伏西方。除伏逆，一見六百三十六日，行〔三〕百三度。伏復，七十一日二千六百九十四分，行五十五度二千二百五十四分半，而與日合。凡一終，七百七十九日有千八百七十二分，行星四百一十四度與九百九十三分。通率日行千八百七十六分之九百九十七。

土，晨伏，十九日千八十一分半，行三度萬四千七百二十五分半，在日後十五度有奇，而見東方。見順，日行四十三分度之三，八十六日行六度。留不行，三十三日。旋逆，日行十七分度之一百二，日退六度。復留，三十三日。復順，八十六日，行六度，在日前十五度有奇，而夕伏西方。除伏逆，〔一〕見三百四十日，行六度。伏復，十九日千八十一分半，行三度萬四千七百二十五分半，與日合。凡一終，三百七十八日有二千一百六十三分，行星十二度與二萬九千四百五十一分。通率日行九千四百一十五分之三百一十九。

金，晨伏，五日，退四度，在日後九度，而見東方。見逆，日行五分度之三，十日，退六度。留不行，八日。〔旋〕順，日行（行）四十六分度之三十三，四十六日行三十三度。而〔疾〕，日行一度九十〔一〕分度之十五，九十一日行百六度。益疾，日行一度二十二分，九十一日行百一十三度，在日後九度，而晨伏東方。除伏逆，一見二百四十六日，行二百四十六度。伏四十一日二百八十一分，行五十度二百八十一分，而與日合。一合二百九十二日〔二〕百八十一分，行星如之。

金，夕伏，四十一日二百八十一分，行五十度二百八十一分，在日前九度，而見西方。見順，疾，日行一度九十一分度之二十二，九十一日行百一十三度。微遟，日行一度十五分，九十一日行百六度。而（進）〔遟〕，日行四十六分度之三十三，四十六日行三十三度。留不行，八日。旋逆，日行五分度之三，十日退六度，在日前九度，而夕伏西方。除伏逆，一見二百四十六日，行二百四十六度，伏五日，退四度而（後）〔復〕合。凡（三）〔再〕合一終，五百八十四日有五百六十二分，行星如之。通率日行一度。

水，晨伏，九日，退七度，在日後十六度，而見東方。見逆，一日退一度。留不得，二日。旋順，日行九分度之八，九日行八度。而疾，日行一度四分度之一，二十日行二十五度，在日後十六度，而晨伏東方。除伏逆，一見，三十二日，行三十二度，伏十六日四萬四千八百五分，行三十二度四萬四千八百五分，而與日合。一合五十七日有四萬四千八百五分，行星如之。

水，夕伏，十六日四萬四千八百五分，行三十二度四萬四千八百五分，在日前十六度，而見西方。見順，疾，日行一度四分度之一，二十日行二十五度。而遟，日行九分度之八，九日行八度。留不行，二日。〔旋〕逆，一日退一度，在日前十六度，而夕伏西方。除伏逆，一見三十二日，行三十〔二〕度，伏九日，退七度而復合。凡再合一終，百一十五日有四萬一千九百七十八分，行星如之。通率日行一度。

步術，以步法伏日度分，（如）〔加〕星合日度餘，命之如前，得星見日度也。（術）〔行〕分母乘之，分（日）如〔日〕度法而一，分不盡如（法）半〔法〕以上，亦得一，而日加所行分，滿其母得一度。逆順母不同，以當行之母乘故分，如故母，如一也。留者承前，逆則減之，伏不書度。經斗除如行母，四分具一。其分有損益，前後相放。其以赤道命度，進加退減之。其步以黃道。

黃道去極，日景之生，據儀、表也。漏刻之生，以去極遠近差乘節氣之差。如遠近而差一刻，以相增損。昬明之生，以天度乘晝漏，夜漏減（三）〔之，二〕百而一，爲定度。以減天度，餘爲明；加定度一爲昬。其餘四之，如法爲少。〔二爲半，三爲太，〕不盡，三之，如法爲強，餘半法以上以成強。強三爲少，少四爲度，其強二爲少弱也。又以日度餘爲少強，而各加焉。【張衡渾儀曰：「赤道橫帶渾天之腹，去極九十一度十〔六〕分之五。黃道斜帶其腹，出赤道表裏各二十四度。故夏至去極六十七度而強，冬至去極百一十五度亦強也。然則黃道斜截赤道者，則春分、秋分之去極也。今此春分去極九十少，秋分去極九十一少者，就夏歷景去極之法以爲率也。上頭橫行第一行者，黃道進退之數也。本當以銅儀日月度之，則可知也。以儀一歲乃竟，而中閒又有陰雨，難卒成也。是以作小渾，盡赤道黃道，乃各調賦三百六十五度四分之一，從冬至所在始起，令之相當值也。取北極及衡各（誠）〔鍼〕㧻之爲軸，取薄竹篾，穿其兩端，令兩穿中閒與渾半等，以貫之，令察之與渾相切摩也。乃從減半起，以爲〔百〕八十二度八分之五，盡衡減之半焉。又中分其篾，拗去其半，令其半之際正直，與兩端減半相直，令篾半之際從冬至起，一度一移之，視篾之半際（夕）多〔少〕黃赤道幾也。其所多少，則進退之數也。從（此）〔北〕極數之，則（無）〔去〕極之度也。各分赤道黃道爲二十四氣，一氣相去十五度十六分之七，每一氣者，黃道進退一度焉。所以然者，黃道直時，去南北極近，其處地小，而橫行與赤道且等，故以篾度之，於赤道多也。設一氣令十六日者，皆常率四日差少半也。令一氣十五日不能半耳，故使中道三日之中（若）〔差〕少半也。三氣一節，故四十六日而差今三度也。至於差三之時，而五日同率者一，其實節之閒不能四十六日也。今殘日居其策，故五日同率也。其率雖同，先之皆強，後之皆弱，不可勝計。取至於三而復有進退者，黃道稍斜，於橫行不得度故也。春分、秋分所以退者，黃道始起更斜矣，於橫行不得度故也。亦每一氣一度焉，三氣一節，亦差三度也。至三氣之後，稍遠而直，故橫行得度而稍進也。立春、立秋橫行稍退矣，而度猶云進者，以其所退減其所進，猶有盈餘，未盡故也。立夏、立冬橫行稍進矣，而度猶〔云〕退者，以其所進，增其所退，猶有不足，未畢故也。以此論之，日行非有進退，而以赤道（重廣）〔量度〕黃道使之然也。本二十八宿相去度數，以赤道爲（強）〔距〕耳，故於黃道亦〔有〕進退也。冬至在斗二十一度少半，最遠時也，而此曆斗二十度，俱百一十五，強矣，冬至宜與之同率焉。夏至在井二十一度半強，最近時也，而此曆井二十三度，俱六十七度，強矣，夏至宜與之同率焉。」】

中星以日所在爲正，日行四歲乃終，置所求年二十四氣小餘四之，如法爲少、大，餘不盡，三之，如法爲強、弱，以減節氣昬明中星，而各定矣。強，正；弱，（直）〔負〕也。其強弱相減，同名相去，異名從之。從強進少爲弱，從弱退少而強。從上元太歲在庚辰以來，盡熹平三年，歲在甲寅，積九千四百五十五歲也。【宋世治曆何承天曰：「曆數之術，若心所不達，雖復通人前識，無救其弊。是以多歷年歲，猶未能有定。四分於天，出三百年而盈一日，積世不悟，徒云建曆之本必先立元，假託讖緯，遂開治亂。此之爲弊，亦以甚矣。劉歆三統法尤復疏闊，方於四分，六千餘年又益一日。楊雄心惑其說，採爲太玄，班固謂之最密，著于漢志。司馬彪曰：『自太初元年始用三統曆，施行百有餘年。』曾不憶劉歆之生不逮太初，二三君子爲曆，幾乎不知而妄言者歟！元和中穀城門候劉洪始悟四分於天疏闊，更以五百八十九爲紀法，百四十五爲斗分，而造乾象法，又制遟疾曆以步月行，方於太初、四分，轉精密矣。」】

論曰：易有太極，是生兩儀。兩儀之分尚矣，乃有皇犧。皇犧之有天下也，未有書計。歷載彌久，暨於黃帝，班示文章，重黎記註，象應著名，始終相驗，準度追元，乃立曆數。天難諶斯，是以五、三迄于來今，各有改作，不通用。故黃帝造曆，元起辛卯，而顓頊用乙卯，虞用戊午，夏用丙寅，殷用甲寅，周用丁巳，魯用庚子。漢興承秦，初用乙卯，至武帝元封，不與天合，乃會術士作太初曆，元以丁丑。王莽之際，劉歆作三統，追太初前（世）〔卅〕一元，得五星會庚戌之歲，以爲上元。太初曆到章帝元和，旋復疏闊，徵能術者課校諸曆，定朔稽元，追漢（三）〔四〕十五年庚辰之歲，追朔一日，乃與天合，以爲四分曆元。加六百五元一紀，上得庚申。有近於緯，而歲不攝提，以辨曆者得開其說，而其元尠與緯同，同則或不得於天。然曆之興廢，以疏密課，固不主於元。光和元年中，議郎蔡邕、郎中劉洪補續律曆志，邕能著文，清濁鍾律，洪能爲筭，述敍三光。今考論其業，義指博通，術數略舉，是以集錄爲上下篇，放續前志，以備一家。【蔡邕戍邊上章曰：「朔方髡鉗徒臣邕稽首再拜上書皇帝陛下：臣邕被受陛下尤異大恩，初由宰府備數典城，以叔父故衞尉質時爲尚書，召拜郎中，受詔詣東觀著作，遂與羣儒並拜議郎。沐浴恩澤，承荅聖問，前後六年。質奉機密，趨走目下，遂竟端右，出相好藩，還尹輦轂，旬日之中，登躡上列。父子一門兼受恩寵，不能輸寫心力，以效絲髮之功，一旦（披）〔被〕章，陷沒辜戮。陛下天地之德，不忍刀鋸截臣首領，得就平罪，父子家屬徙充邊方，完全軀命，喘息相隨。非臣無狀所敢〔復〕望，非臣罪惡所當復蒙，非臣辭筆所能復陳。臣初決罪雒陽詔獄，生出牢戶，顧念元初中故尚書郎張俊，坐漏泄事，當伏重刑，已出穀門，復聽讀鞠，詔書馳救，〔減罪〕一等，輸作左校。俊上書謝恩，遂以轉徙。〔邕爲〕郡縣促遣，徧於吏手，不得頃息，含辭抱悲，無由上達。既到徙所，乘塞守烽，職在候望，憂怖焦灼，無心復能操筆成草，致章闕庭。誠知聖朝不責臣謝，但〔懷〕愚心，有所不竟。臣自在布衣，常以爲漢書十志，下盡王莽，而世祖以來，唯有紀傳，無續志者。臣所師事故太傅胡廣，知臣頗識其門戶，略以所有舊事〔與臣〕，雖未備悉，粗見首尾，積累思惟，二十餘年。不在其位，非外吏庶人所得擅述。天誘其衷，得備著作郎，建言十志皆當撰錄，遂與議郎張華等分受之，（所使元順）〔其〕難者皆以付臣。先治律曆，以籌筭爲本，天文爲驗，請太（師）〔史〕舊注，考校連年，往往頗有差舛，當有增損，乃可施行，爲無窮法。道至深微，不敢獨議。郎中劉洪，密於用筭，故臣表上洪，與共參思圖牒。尋繹適有頭角，會臣被罪，（遂）〔逐〕放邊野。臣竊自痛，一爲不善，使史籍所闕，（故）〔胡〕廣所校，二十年之思，中道廢絕，不得究竟。慺慺之情，猶以結心，不能違望。臣初欲須刑竟，乃因縣道，具以狀聞。今年七月九日，匈奴始攻郡鹽池縣，其時鮮卑連犯雲中、五原，一月之中，烽火不絕。不（言四）〔意西〕夷相與合謀，所圖廣遠，恐遂爲變，不知所濟。郡縣咸懼，不守朝旦。臣所在孤危，懸命鋒鏑，湮滅土灰，呼吸無期。誠恐所懷隨軀腐朽，抱恨黃泉，遂不設施，謹先顛踣。科條諸志，臣欲（制）刪定者一，所當接續者四，前志所無，臣欲著者（三）〔五〕，及經典羣書所宜捃摭，本奏詔書所當依據，分別首目，并書章左。臣初被考，妻子迸竄，亡失文書，無所案請。加以惶怖愁恐，思念荒散，十分不得識一，所識者又恐謬誤。觸冒死罪，披（散）〔瀝〕愚情，願下東觀，推求諸奏，參以璽書，以補綴遺闕，昭明國體。章聞之後，雖肝腦流離，白骨剖破，無所復恨。惟陛下省察。謹因臨戎長霍圉封上。臣頓首死罪稽首再拜以聞。」其所論志，志家未以成書，如有異同，今隨事注之于本志也。】

贊曰：象因物生，數本杪曶。律均前起，準調後發。該覈衡琁，檢會日月。